教学研讨｜8.6.2.1直线与平面垂直的判定定理（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1．内容

　　第1课时：直线与平面垂直的概念及判定定理、点到平面的距离及直线与平面所成的角．

　　第2课时：直线与平面垂直的性质定理、直线到平面的距离及两平行平面间的距离．

　　2．内容解析

　　直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直的位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和平面与平面垂直关系的中介．直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用．

　　直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法．直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单、由无限问题向有限问题、由直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略．

　　直线与平面垂直的性质定理，考察的是在直线与平面垂直的条件下，与之相关的直线、平面之间的位置关系．与它们直接相关的是直线和平面内的直线的位置关系，而根据直线和平面垂直的定义，直线和平面内所有直线都垂直，由此想到需要研究它们与其他直线和平面的关系．教材证明了如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a，b一定平行，既揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，又给出了判定两条直线平行的一种方法．

　　基于以上分析，确定本节的教学重点为：直线与平面垂直定义的抽象与归纳；直线与平面垂直判定定理的发现与验证；直线与平面垂直的性质定理的应用．

　　二、单元教学目标和目标解析

　　1．目标

　　（1）理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面所成的角的概念．

　　（2）探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角．

　　（3）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的转化思想．

　　（4）在探究直线与平面垂直的性质定理的过程中，感悟“正难则反”的证明思路，感悟“平行”与“垂直”的相互转化．

　　（5）了解直线到平面的距离以及两个平行平面间的距离，完善棱柱、棱台中高的概念．

　　2．目标解析

　　达成目标（1）的标志是：学生通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；知道点到平面的距离、直线和平面所成的角的概念，会在具体情境中找出并表示．

　　达成目标（2）的标志是：学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理与直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角．

　　达成目标（3）的标志是：学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用；知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等；能认识到“直线与平面垂直的判定”与“直线与平面平行的判定”在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般思路和方法．

　　达成目标（4）的标志是：能结合实例感知得出结论，能在教师的引导下，推导出与客观事实相违背的谬论，能自行提出一些与平行、垂直相互转化有关的命题并对其进行证明．

　　达成目标（5）的标志是：能说出直线到平面的距离以及两个平行平面间的距离的定义，理解定义背后的理由，能在具体图形中识别或作出几何体的高．

　　三、教学问题诊断分析

　　虽然学生有直线与直线垂直和直线与平面垂直的生活经验和感知，但由于他们把空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力还不强，因而他们对于如何借助直线与直线垂直来刻画直线与平面垂直还会遇到困难，更难用确切的数学语言刻画直线与平面垂直．考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，如“所有实数的平方都是非负数”与“任意一个实数的平方都是非负数”，教学时可在教师的提示下由学生自己得到直线与平面垂直的定义．

　　对于直线与平面垂直的判定定理，学生通过探究和动手实践，会初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直．但在缺少逻辑推理的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑结论的正确性．教学时需要引导学生通过亲身的反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性．

　　对于直线与平面垂直的性质定理的证明要用到反证法，而学生对反证法不太熟悉，因此教学中教师应进行适当引导．

　　本节的教学难点是：发现并验证直线与平面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直的性质定理．

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四、教学重点、难点

重点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳；直线与平面垂直判定定理的发现与验证；直线与平面垂直的性质定理的应用．

难点：发现并验证直线与平面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直的性质定理．

五、数学学科素养

数学抽象,逻辑推理,数学建模,直观想象

六、教学过程：见《研讨素材二》

第1课时

第1课时　直线与平面垂直的判定定理

　　（一）课时教学内容